Sobre la finitud de las series de potencias infinitas de tipo geométrico-polinomiales

Article Sidebar

PDF (Español (España)) HTML (Español (España))
Published: Mar 10, 2015
DOI: https://doi.org/10.18845/rdmei.v6i2.2136
Keywords:
Series, Series de Potencias, Series Infinitas, Series Geométricas, Funciones Polinomiales, Diferencias Finitas, Cálculo de Diferencias Finitas, Bernoulli

Main Article Content

George Braddock Stradtmann

Abstract

Una investigación que inicié a mediados del año 2004, para tratar de encontrar cómo pudieron hacer los matemáticos de fines del siglo XVII, para encontrar la suma de algunas series de potencias infinitas, como por ejemplo la serie $\,\sum_{k=1}^\infty {{ k}^3 { \left( {\frac{1}{2}} \right)}^k } \,$, la pude concluir exitosamente.

A ese tipo de series yo las llamo geométrico-polinomiales, ya que son series geométricas, con coeficientes dados por una función polinomial $\,P_{n}(k)\,$, de grado $\,n.\,$

Usando técnicas similares a las que usaban los matemáticos de aquellos tiempos, encontré un procedimiento que nos permite reagrupar los términos de la serie y expresarla con relación a las diferencias entre sus coeficientes.

Este procedimiento lo demostré formalmente con el Teorema 1 que, por medio de la fórmula

 

\begin{displaymath} \sum_{k=0}^\infty a_k r^k = a_0 S + \sum_{k=1}^\infty \left(a_k - a_{k-1} \right) r^k S \end{displaymath}



nos muestra como expresar una serie geométrica infinita con relación a las diferencias finitas de sus coeficientes.

Aplicándole veces la fórmula anterior a la serie infinita, obtuve una serie finita equivalente a ella. Esto lo demostré formalmente con el Teorema 2 y el Teorema 3 que, con la fórmula

 

\begin{displaymath} \sum_{k=m}^\infty {{{ \Delta }_0^k }} { r}^k = \sum_{k=0}^n { \Delta _k^m } { r}^{k+m} S^{k+1} \end{displaymath}



donde $\,\Delta _i^k \,$ representa las i-ésimas diferencias finitas de la función polinomial. Esta fórmula nos dá la serie finita que converge exactamente al mismo valor que la serie infinita original.

Article Details

How to Cite
Braddock Stradtmann, G. (2015). Sobre la finitud de las series de potencias infinitas de tipo geométrico-polinomiales. Mathematics, Education and Internet Journal, 6(2). https://doi.org/10.18845/rdmei.v6i2.2136
Issue
Vol. 6 No. 2 (2005): March-August, 2005
Section
Articles

Las personas autoras conservan los derechos de autoría, pero ceden a la revista el derecho de la primera publicación. También, permiten a la revista editarlo, reproducirlo, distribuirlo, exhibirlo y promocionarlo en el país y en el extranjero mediante diferentes medios impresos y digitales. Además, permiten que el artículo sea adaptado a formatos de lectura, sonido o voz para que pueda ser accedido por personas que presenten alguna discapacidad o limitación. Se podrá traducir a cualquier idioma diferente al del artículo original.

Las personas autoras permiten a la revista publicar, junto con el artículo, datos personales como nombres, apellidos, institución de filiación, ciudad, país y correo electrónico.

Asimismo, las personas autoras asumen el compromiso sobre cualquier litigio o reclamo relacionado con los derechos de propiedad intelectual, exonerando de responsabilidad a la revista y al Instituto Tecnológicos de Costa Rica.

Se aclara que los puntos de vista y comentarios de las personas autoras de los artículos no necesariamente representan los puntos de vista de la revista ni los del Instituto Tecnológico de Costa Rica.

Los artículos están licenciados bajo Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 4.0 International License.