Introducción

Este trabajo se basa en una pregunta muy antigua ¿se puede generar un número primo a partir de otro? Las razones de tal pregunta son varias, una de ellas, aunque parezca desconectada, es la búsqueda de nuevos números primos. Se pueden mencionar, al menos, dos casos en los que se busca encontrar un número primo que sea generado a partir de otro. Un primer ejemplo son los números primos de Sophie Germain, los cuales se definen así [1]:

Definición 1. Un número primo p es un número primo de Sophie Germain, si 2p+1 también es primo.

Aunque quizá se esperaba que dichos números aparecieran con frecuencia, resultó que en realidad hay muchos números primos que no cumplen con esa definición. Una nota adicional es que a los primos de Germain también se les puede llamar “primos casi dobles” [2].

Un segundo ejemplo son los números de Mersenne (1644) [3]:

Definición 2. Un número primo de Mersenne es un número primo que es una potencia de dos menos 1, es decir, si p es primo, 2^p-1 también es primo^a.

Marin Mersenne trató de encontrar una fórmula para todos los primos. Sin embargo, y como en el caso de los primos de Germain, no todos los números primos p de la forma 2^p−1 son primos. En el caso de los números de Mersenne, incluso, por ser más bien raros, encontrarlos se ha convertido en una tarea gigantesca, en la que se puede participar gracias a la plataforma GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search [4].

No parece haber un patrón para generar números primos, es decir, no hay una fórmula sencilla. Tampoco es conocido algún “comportamiento definido”, que nos diga, por ejemplo, cómo están distribuídos o cuándo va a aparecer el siguiente número primo. En 1845 Joseph Bertrand propuso que para cualquier cualquier n∈ℕ </math>,n>3 siempre existe al menos un número primo p tal que n<p< 2n-2; más aún que para n>1 siempre hay un primo en el intervalo n<p<2n La formulación que nos interesa es la siguiente: dado el n-ésimo número primo pn, para n≥1 se tiene que que p_n+1<2p_n [5], lo cual se acerca a la definición de primos de Germain.

Pero, si consideramos los números primos de Germain, encontramos que solo algunos números primos p generan un número 2p+1 que sea primo. Este es el punto de partida de este trabajo, en el cual se introduce una extensión a los primos de Germain.

El trabajo está organizado de la siguiente manera. En la Sección 2 se calculan algunos números de Germain, y su cardinalidad, para dar una idea de su comportamiento. Como se tiene una conjetura sobre la infinitud de los primos de Germain, se toma un enfoque contrario en la Sección 3, donde se presentan varias demostraciones de la infinitud de los primos que no son primos de Germain. Este nuevo enfoque parte del hecho que es más fácil buscar aquellos números primos que no son primos de Germain que los que sí lo son. En la Sección 4 se definen los primos completamente no Germain, y se introduce el conjunto de todos los primos que sí tienen relación con los primos de Germain. Eso es útil para el desarrollo posterior, es decir, para introducir una forma extendida de los primos de Germain, cuya razón se explica en las Secciones 5 y 6. Este enfoque nos permite proponer que la unión de los primos extendidos de Germain contienen a la infinitud de los números primos, la cual ha sido demostrada desde hace siglos por Euclides.

Notas preliminares sobre los primos de Germain

Para esta sección y el resto del trabajo se requieren las siguientes definiciones: función contadora de números primos π(n), además se designará a un primo de Germain como p_G, y al número primo que se obtiene al hacer 2p+1 se le designará como p_sG, conocido como primo seguro de Germain.

Definición 3. Función contadora de números primos es la función π(n) definida como π(n):=#{ p ∈ $\mathbb{N}$ p es un número primo y p≤n} y donde #{} denota su cardinalidad.

Algunos números primos no son primos de Germain, como el 7, el 13, el 17, y muchos más. Si, por ejemplo, contamos cuántos primos de Germain hay hasta un valor de n dado, encontramos que la densidad de primos de Germain desciende al aumentar n. Como muestra hagamos n=100, entonces π(100)=25, es decir, en los 100 primeros números naturales solo hay 25 que son primos. Designando la cantidad (o cardinalidad) de los primos de Germain por π_G(n), encontramos que π_G(100)=10, es decir, solamente 10 son p_G. Estos cálculos se pueden continuar para valores cada vez más grandes de n. La Tabla 1, tomada de [6], muestra los valores de cardinalidad π(n) y π_G(n) para diferentes valores de n y en la cuarta columna la razón π_G(n)/π(n).

Tabla 1

Cardinalidades π(n) contra π_G(n)

Note que al aumentar n hay un comportamiento asintótico hacia cero en la proporción π_G(n)/π(n) indicando que π_G(n) es mucho menor que π(n). Sin embargo, la conjetura de la infinitud de los primos de Germain, de comprobarse, indicaría que ambas cantidades son infinitas.

¿Hay una infinitud de números primos que no son de Germain?

Se considera, en este trabajo, que es más fácil encontrar cuáles primos no pueden ser p_G, en lugar de buscar aquellos que sí lo son. Para ello, tomamos el hecho de que todo número primo p mayor que 3 se puede expresar, ya sea, como p=6m-1 o como p=6m+1, donde m es un entero positivo. Note que se ha empleado la conjunción “o”, ya que puede haber valores de m en los cuales una de las dos formas no es un número primo. Por ejemplo, con m=4, tenemos 6m-1=23 que sí es primo, pero 6m+1=25 el cual no es primo.

Aún así, m=4 sigue siendo válido en la representación de un número primo, en ese caso como p=6m-1. En este sentido, si se comprueba que m puede ser cualquier entero mayor o igual a 1, m podría ser cualquier entero positivo y por lo tanto podría tender a infinito, cumpliendo con el teorema de Euclides, “existe un número infinito de números primos”.

Para el desarrollo de este trabajo, se aplica el siguiente lema [7]:

Lema 1. Todo número primo p>3 se puede escribir como p=6m±1, donde m es un entero positivo.

Una demostración está dada también en [7].

Proof. Todo entero positivo n≥6 se puede expresar como 6m+k, donde k=0,1,...,5 y m≥1. Los números 6m, 6m+2, 6m+3 y 6m+4 son compuestos ya que son divisibles entre 2, entre 3 o ambos, es decir, 6m=2×3m, 6m+2=2(3m+1), 6m+3=3(2m+1), 6m+4=2(3m+2). Mientras que 6m+1 y 6m+5 son, ya sea primos (por ejemplo 6×1+1=7, 6×2−1=11) o compuestos (por ejemplo 6m+5 es divisible por 5 si m es múltiplo de 5, 6m+1 es divisible por 3 si la suma de dígitos decimales es divisible por 3). Por otro lado, 6m+5 se puede escribir como 6(m+1)−1. Todos los primos menores que 5, es decir el 2 y 3, no se pueden expresar como p=6m±1 donde m es un entero positivo. Esto significa que todo número primo p≥5 puede ser expresado como p=6m±1, donde m∈$\mathbb{N}$. ◻

Otro resultado útil es la siguiente observación:

Obervación 1. Para todo p>5 ningún número primo tiene terminación en 5.

Con base en estas representaciones, ahora podemos considerar cuáles primos no pueden ser primos de Germain. Específicamente, se hace la proposición:

Proposición 1. Todos aquellos números primos que puedan expresarse como p=6m+1 no pueden ser primos de Germain.

Proof. Sea p=6m+1, de modo que la definición de p_G nos pide calcular 2p+1, para obtener:

$\begin{array}{rl}2p+1& =2(6m+1)+1\\ & =12m+3\\ & =3(4m+1)\end{array}$

entonces se obtiene un número múltiplo de 3, y por lo tanto no es primo. ◻

Por otro lado, para algunos valores enteros positivos de m, se obtiene un primo con ambas formas, es decir, con 6m-1 y con 6m+1. Cuando ocurre eso, entonces 6m-1 y 6m+1 forman un par de primos gemelos.; un primo gemelo menor 6m-1 y un primo gemelo mayor 6m+1. Esta representación (6m-1,6m+1) de primos gemelos, es válida para los pares de gemelos después del par (3,5). Cuando para algún valor de m, alguno de los dos no sea primo, entonces ese primo simplemente no es un primo gemelo (recuerde el ejemplo con m=4, para p=23).

Entre los pares de primos gemelos (6m-1,6m+1), en la Proposicion 1 se demostró que el gemelo mayor 6m+1, nunca puede ser primo de Germain. Ahora, el primo gemelo menor, y para cualquier otro número primo, hacemos la siguiente proposición:

Proposición 2. Ningún número primo p con terminación en 7, puede ser primo de Germain, p_G.

Proof. Sea un número primo con terminación en 7, dado por p=10a+7, donde a es un número entero, entonces al hacer 2p+1 tenemos

$\begin{array}{rl}2p+1& =2(10a+7)+1\\ & =20a+15\end{array}$

de modo que 2p+1 será siempre un número con terminación en 5, y ningún número primo tiene terminación en 5, como se estableció en la Observación 1. ◻

En este punto cabe hacer la pregunta: ¿hay una infinidad de números primos que terminan en 7 o de la forma 6m+1? Una respuesta afirmativa puede ser la prueba de la infinitud de los números primos que no son primos de Germain, es decir, se puede establecer la conjetura:

Conjetura 1. El número de primos p≠pG es infinito.

En la Conjetura 1, se dice que del infinito número de primos hay muchos que no son primos de Germain, y como se ha demostrado por Euclides que hay infinitos números primos, se puede decir que tiene que haber un número infinito de primos que no son primos de Germain. En este trabajo se propone que aún si se cumple la infinitud de los números primos de Germain, el conjunto también excluye a una gran cantidad de primos, pero al haber un número infinito de números primos, se mantendría también la infinitud de los números primos tales que 2p+1 es primo. Una conclusión plausible es que π_G(n) es mucho menor que π(n), siendo ambos infinitos cuando n tienda a infinito. Más aún, si la cantidad de primos de Germain es infinita, no hay una biyección con la infinitud de los números primos.

Unión entre los p_G y sus p_sG

El objetivo planteado es encontrar una forma alternativa a los primos de Germain, de modo que se pueda extender el número de primos p que generen otro número primo. Sin embargo, en esta sección se comienza por analizar, incluyendo un ejercicio numérico, si al considerar todos los primos de Germain, sean p_G y/o p_sG aumenta su cardinalidad. Así, a partir de un conjunto finito de números primos se analiza su relación a otro conjunto de primos p_G.

Sea el conjunto ordenado P de números primos, cuyos elementos están dados por:

P={p|p≤n},donde p es primo y n∈$\textcolor{red}{}\mathbb{N}$ con un valor dado.

Por su parte, el conjunto P tiene su propia cardinalidad dada por π(n). A partir de P se obtiene el conjunto G cuyos elementos serán los números primos de Germain extraídos de P, es decir, G⊆P y cuyos elementos están dados por

G={p|p=p_G}.

Igual que P, el conjunto G tiene su cardinalidad en π_G(n). El conjunto G genera un conjunto S a partir de la condición “2p+1 es primo”, es decir, el conjunto S es el conjunto seguro de Germain, cuyos elementos están dados por

S={p|2p+1=p_sG}.

Entonces S tiene la misma cardinalidad π_G(n) pero cuyos elementos, algunos, pueden ser iguales a los elementos de G. La unión E=G∪S tendrá una cardinalidad π_E(n). Interesa comparar el total de los números primos de Germain, es decir, los generados como p_sG y los generadores p_G. Pero π_E(n) no es la suma π_G(n)+π_sG(n) ya que puede haber intersección entre G y S. Al obtener E, deseamos saber si en la lista se han perdido algunos primos, ya que esto puede suceder, puesto que no todos los primos son primos de Germain.

Cabe hacer un paréntesis para definir una clase importante de número primos, los cuales no tienen relación con los primos de Germain. Al hacer la unión E=G∪S, solo aparecen aquellos p que son p_G, p_sG o ambos. Por ejemplo, p=7 no es primo de Germain pero es primo seguro de Germain, p_sG, ya que se obtiene a partir de p=3, (2×3+1=7), entonces sí aparece en el conjunto E. Por lo anterior, la diferencia π(n)−π_E(n) indicará cuántos de esos primos no se relacionan con los primos de Germain, de ningún modo. El primer ejemplo que aparece es el número primo p=13, el cual no es p_G y tampoco es p_sG de ningún otro primo anterior.

Conviene definir la siguiente clase de números primos, la cual será designada por p_cnG, es decir, primos completamente no Germain:

Definición 4. Un número primo p será completamente no Germain, p_cnG, si:

$\begin{array}{}& p\text{es tal que}\{\begin{array}{l}2p+1,\text{no es primo.}\\ \frac{p-1}{2},\text{no es primo.}\end{array}\end{array}$

Lo interesante es que la cantidad de primos p_cnG es mucho muy grande, y aumenta al aumentar n.

En ese orden de ideas, se compara la cardinalidad entre π_E(n) y el total de primos para calcular la proporción π_E(n)/π(n), al mismo tiempo que se obtiene π_cnG(n), la cual aumenta con n. Finalmente se comparan los conjuntos E y P; los elementos de este último que no estén en E serán los primos p_cnG.

Ejemplos numéricos

Ejemplo 1. Sea n=10. Entonces P={2,3,5,7}. Por lo tanto π(10)=4. De aquí obtenemos G={2,3,5} y π_G(10)=3. Los primos generados son primos seguros de Germain formando el conjunto S={5,7,11}, con cardinalidad π_sG(10)=π_G(10)=3. Prosiguiendo, E=G∪S={2,3,5,7,11}, con π_E(10)=5. Observe que la cardinalidad π_E(10)=5 es mayor a la cardinalidad original π(10)=4. Sin embargo, se comparan los elementos de P que no están en E, y haciendo un ajuste en E, se obtiene $\frac{{\pi }_{\mathbf{E}}(10)}{\pi (10)}=\frac{4}{4}=1$

En el Ejemplo 1, al unir los conjuntos de primos de Germain G y de primos seguros de Germain S, se obtiene la lista completa de números primos desde el 2 hasta el 7; no se perdió ninguno, pero eso cambia al aumentar n, como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2. Sea n=100. Ahora se tiene que π(100)=25 y los elementos de P son: P={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}. Los conjuntos G y S son: G={2,3,5,11,23,29,41,53,83,89}, S={5,7,11,23,47,59,83,107,167,179} y π_G(100)=10. Entonces, para p≤100, E={2,3,5,7,11,23,29,41,47,53,59,83,89}, eliminando aquellos p>100, y nos queda π_E(100)=13. Finalmente $\frac{{\pi }_{\mathbf{E}}(100)}{\pi (100)}=\frac{13}{25}=0.52$ ,pero ahora sí hay elementos en P que no están en E y así π_cnG(100)=12 es la cantidad de primos que son completamente no Germain

En la Tabla 2 se muestran los resultados de la comparación entre π_E(n) y π(n) para diferentes valores de n. En la quinta columna se incluye la cantidad de primos p_cnG, es decir, que no son primos de Germain de ningún tipo.

Tabla 2:

Números primos que no son p_G ni p_sG.

Según se muestra en la Tabla 2, al aumentar n, hay cada vez un mayor número de primos que caen en la categoría de ser p_cnG. Se deja abierta al lector la demostración de que la cantidad de estos puede ser infinita, como se indica en la Conjetura 1.

En la siguiente sección se busca extender la definición de los números de Germain, de modo que se vayan encontrando cada vez más números primos que generen otro número primo.

Números primos extendidos de Germain

En este trabajo se amplía la definición de número primo de Germain de “p tal que 2p+1 sea primo” a una nueva definición: “p tal que 3p+2 sea primo”. Se trata de encontrar algunos números que, en la forma anterior, no eran primos de Germain, y que en la nueva forma sí entreguen nuevos números primos. Por ejemplo, sea p=7, que no es número p_G, entonces en la nueva forma se obtiene 3p+2=23, el cual sí es número primo. Designemos a estos números primos extendidos de Germain como p_Gx.

Repitiendo los cálculos para p<100, los números p_Gx, (3p+2) son: Gx={3,5,7,13,17,19,23,29,37,43,59,79,83,89,97}, y sus correspondientes números primos seguros extendidos de Germain p_sGx son: Sx={11,17,23,41,53,59,71,89,113,131,179,239,251,269,293}. Aunque algunos primos de Germain desaparecieron (por ejemplo el 2 y el 11), ahora se obtienen 15 números primos que generan números primos, en lugar de 10. Así que en este caso π_Gx(100)=15, el cual se puede comparar con πG(100)=10 de la Tabla 1.

Al realizar más cálculos para los primos extendidos pGx, se obtuvo un comportamiento muy similar al anterior. Los resultados se muestran en la Tabla 3, y se observa solo un ligero incremento en la proporción π_Ex(n)/π(n), donde π_Ex(n) es la cantidad de primos extendidos de Germain, de la forma 3p+2. La quinta columna muestra la cantidad de primos que son p_cnG, donde también se observa una reducción respecto al caso 2p+1, pero la tendencia hacia arriba se mantiene al aumentar n.

Tabla 3:

Números primos que no son p_Gx ni p_sGx en 3p+2.

Generalización de los números primos extendidos de Germain

La extensión propuesta se puede continuar como 4p+3, 5p+4, entre otras, y se obtienen resultados similares. Con estas nuevas formas (clases) se obtienen otros números primos a partir de números primos anteriores. Cabe aclarar, que no se trata de reemplazar a la forma original, sino de agregar nuevas formas, y su justificación se verá en la siguiente sección.

Generalizando, la extensión se puede llevar a la forma

$p_{Gk}=kp+(k-1),\text{con}k\ge 2$

donde k es un entero y reemplaza al subíndice x. Si hacemos k=1 regresamos a los números primos originales, así que para ajustarnos al criterio de Germain, se propone k≥2.

En la sección anterior se vio que algunos p que no generaban otro primo como 2p+1, en la forma alternativa 3p+2 sí lo hacen. Para ilustrar la extensión a otros valores de k, sea k=4, usando la notación propuesta, para p=5 tenemos p_G4=4×5+3=23, el cual es primo. Esto no se cumple con todos los p, de ahí la búsqueda para ver en cuáles sí se cumple y sobre todo cuántas veces se cumple para una n dada, donde n es el número deseado en π(n). En lugar del uso de tablas, en la Figura 1 se muestran los resultados para varios valores de k, y para n desde 100 hasta 10⁸. Es evidente que el cambio de la forma 2p+1 a kp+(k−1), con k≥2, no reduce de manera significativa el número de primos que no son, ahora, “primos extendidos de Germain”.

Figura 1:
Comportamiento de la proporción entre primos extendidos de Germain y π(n) para varios valores de k y de n.
(Elaboración propia).

El resultado no es completamente inesperado, ya que en la forma alternativa kp+(k-1) también se pueden encontrar primos p que no serán primos (extendidos) de Germain. En cada caso, es decir, para cada valor de k, se conjetura que habrá un número infinito de primos p que no generan otro número primo, exactamente igual que en el caso original 2p+1. La demostración queda abierta pero, de manera inicial, se propone el siguiente procedimiento.

Sea p_G3 el primo extendido de Germain clase 3, es decir, de la forma 3p+2. Aquellos números primos p con terminación en 1, no serán primos extendidos de Germain de esta clase (k=3), ya que generan un número con terminación en 5, y como ya se observó, y además es conocido, ningún número (después del 5) que termine en 5 es primo.

Proof. Sea un número primo dado por p=10a+1, donde a es un número entero. Al hacer 3p+2 se tiene:

$\begin{array}{rl}3p+2& =3(10a+1)+2\\ & =30a+5\end{array}$

y por lo tanto no es primo porque termina en 5. ◻

En resumen, cada clase k de Germain tendrá ciertos valores de p para los cuales no cumplan la definición. Esto se muestra, para algunos valores de k, en la Tabla 4. Nuevamente se confirma que hay un gran número de primos que no generan otro primo clase Germain, que bien podrían llamarse “casi múltiplo”, siguiendo la terminología del término “casi doble.”

Tabla 4:

Primos que no son p_Gk.

Unión de primos extendidos de Germain clase k

Finalmente, se propone hacer la unión de todas las formas extendidas de primos de Germain, para obtener todos los números primos, al menos, hasta p≤n.

Como se mostró anteriormente, algunos números primos no están incluidos en algunas clases k de Germain, no como p_G y tampoco como p_sG. Al calcular el primo kp+(k−1), con k>2, sí aparecen, ya sea como p_Gk o como p_sGk. Se plantea que aumentando el valor de k sucesivamente, se obtendrá la lista completa de números primos p≤n.

Se podrá preguntar ¿qué sentido tiene obtener un primo p si ya se tiene previamente una lista? Aunque esto parece repetir lo que ya se tiene, con este ejercicio se logra comprobar que en la totalidad de las clases extendidas de Germain, sí se encuentran todos los números primos.

Sea el conjunto E₂=G₂∪S₂, donde, G₂ es el conjunto de primos de Germain y S₂ el conjunto de los primos seguros de Germain de la forma 2p+1, obtenidos del conjunto P={p≤n}. Además, se definen todos los conjuntos E_k=G_k∪S_k, con k≥2, entonces se plantea la siguiente conjetura:

Conjetura 2. La unión de los conjuntos E_k contendrán a todos los número primos p≤n, es decir,

${\mathbf{E}}_{\mathbf{T}}={\cup }_{k\ge 2}{\mathbf{E}}_k={\mathbf{E}}_2\cup {\mathbf{E}}_3\cup \cdots \cup {\mathbf{E}}_k=\{p|p\le n\}.$

En la Conjetura 2, no se trata de encontrar cuántos primos no pertenecen a una clase k, o a todas las clases k, si no que se trata de probar que en los primos extendidos de Germain, están todos los números primos. La forma de ilustrarlo es por medio de un ejemplo, paso a paso.

Ejemplo 3. Sea el conjunto P={p|p≤20}={2,3,5,7,11,13,17,19}. Iniciando con la definición de Sophie Germain, k=2. Entonces, G₂={2,3,5,11}, los primos 13, 17 y 19 no son primos de Germain clase 2; el conjunto de primos seguros de Germain es S₂={5,7,11,23}. La unión de G₂ y S₂, es E₂={2,3,5,7,11,23}. Como S_k puede crecer, al aumentar k, mucho más allá del intervalo de interés, se ignora todo término mayor que el último elemento de P. En este caso se ignora el último término (23>19), quedando la unión como E₂={2,3,5,7,11}. Comparando E₂ con P, hay una diferencia en los términos, así que se continúa con k=3 .

El cálculo on k=3 entrega G₃={3,5,7,13,17,19} y S₃={11,17,23,41,53,59}. Luego E₃={3,5,7,11,13,17,19,23,41,53,59}. Nuevamente, el último término de E₃ es mayor al último término de P, por lo que se elimina el último quedando E₃={3,5,7,11,13,17,19,23,41,53}. Esta operación se repite hasta que el último término de E₃ sea menor o igual al último término de P, quedando E₃={3,5,7,11,13,17,19}. La unión de E₂ y E₃ es ET={2,3,5,7,11,13,17,19}. Se comparan los conjuntos E_T y P y se obtiene una relación uno a uno, misma cantidad y mismos números primos. Se requirieron los valores de k=2 y k=3, y no falta ningún primo en E_T para ese intervalo p≤20.

El Ejemplo 3, muestra paso a paso el procedimiento a seguir. Para valores más grandes se puede hacer la misma comparación y encontrar hasta qué valor de k es necesario para completar el conjunto original P. En la Tabla 5 se muestran los resultados para varios valores de n y el último valor de k en cada caso.

Tabla 5:

Primos extendidos de Germain clase k en {p≤n}.

En la tercera columna de la Tabla 5, se indica que la longitud, o número de elementos, del conjunto P es la misma que el conjunto E_T, y cabe aclarar que además de la longitud, ambos contienen exactamente los mismos números primos. De hecho, el algoritmo termina cuando la operación XOR (la cual se emplea en varios lenguajes de programación), entre E_T y P, devuelve el conjunto vacío, indicando que ambos se han vuelto idénticos.³

Los resultados de la Tabla 5 son un impulso para enunciar una conjetura más, ya que se puede proponer que:

Conjetura 3. En el conjunto infinito de números primos y en el conjunto infinito de unión de conjuntos (E_k) de primos extendidos clase k se cumple que

$\begin{array}{l}\text{Si}\mathbf{P}=\{p|p\le n,n\to \mathrm{\infty }\},\text{(conjunto infinito de números primos)}\\ \text{y si}\\ {\mathbf{E}}_{\mathbf{T}}={\cup }_{k\ge 2}{\mathbf{E}}_{\mathbf{k}}={\mathbf{E}}_{\mathbf{2}}\cup {\mathbf{E}}_{\mathbf{3}}\cup \cdots \cup {\mathbf{E}}_{\mathbf{k}},\text{con}k\to \mathrm{\infty }\\ \text{(unión infinita de conjuntos de primos extendidos de Germain)}\\ \text{entonces}{\mathbf{E}}_{\mathbf{T}}=\mathbf{P}.\end{array}$

Como consecuencia de la Conjetura 3, se termina haciendo la siguiente:

Conjetura 4. Para cualquier número primo p, sin importar su valor, ∃ un entero k≥2 tal que kp+(k−1) es primo.

Es decir, si un número p no entrega un primo 2p+1, existe un número con el valor adecuado de k, sin importar la magnitud de ambos, tal que kp+(k−1) es primo. De este modo, no se obtiene un primo “casi doble” [2], si no que se obtendrá un número primo con “casi” multiplicidad k. En este trabajo se recomienda seguir usando el término “primo de Germain” en lugar de primo casi doble, y “primo extendido de Germain” (o primo de Germain clase k) en lugar de primo casi múltiple, para hacer honor a su autora, Sophie Germain.

Conclusiones

En este trabajo se siguió un nuevo enfoque en el tema sobre la infinitud de los primos de Germain, al considerar que es más fácil determinar cuáles primos no son primos de Germain, en lugar de los que sí lo son. Algunos aspectos a resaltar son:

• A partir de la definición “p tal que 2p+1 es primo”, se presentaron algunos casos para comprobar que hay primos que nunca son primos de Germain.

• Se definió un conjunto E cuyos elementos son todos los primos de Germain, es decir, los p_G más los p_sG para identificar, de ese modo, los primos que son completamente no Germain. Para ello se comparó la cardinalidad del conjunto E al conjunto P de números primos, en un intervalo p≤n dado.

• Posteriormente, se definieron los primos extendidos de Germain, es decir, se amplió la definición de primo de Germain de “2p+1” a “kp+(k−1), k≥2, entero”, definiendo así una clase k de Germain. Finalmente, la unión de las clases extendidas de Germain, unión infinita de conjuntos E_k, designada como E_T, nos permitió plantear una biyección entre esa unión y el conjunto infinito de números primos.

• La última conjetura lograda es que para todo número primo p, existe un valor k tal que en la forma kp+(k−1) se obtiene un número primo. Ningún p queda fuera de la categoría de ser primo de Germain, y más específicamente, k-Germain, con k≥2.

La conclusión definitiva es que, si la cantidad de primos de Germain (2p+1) es infinita, no hay una biyección con la infinitud de los números primos.

Agradecimientos

Se agradecen las aportaciones de los revisores anónimos, quienes con sus observaciones y correcciones ayudan a mejorar la presentacion del trabajo. En especial, se agradece su aportación para aclarar la notación empleada en la demostración de la Proposición 2 y de la página 8.

Bibliografía

[1] V. Shoup, A computational introduction to number theory and algebra. Cambridge University Press, 2009.

[2] L. Günter, “Long chains of nearly doubled primes,” Mathematics of Computation, vol. 53, no. 1889, pp. 751–759, 1989.

[3] M. Mersenne, “Cogitata physico-mathematica (paris, 1644),” 1644.

[4] “Great internet mersenne prime search.” https://www.mersenne.org/legal/.

[5] P. Ribenboim, Fermat’s last theorem for amateurs. Springer, 1999.

[6] G. Miramontes and D. Miramontes, “Números primos gemelos y primos gemelos de germain,” Revista Digital Matemática Educación e Internet, vol. 23, no. 1, 2022.

[7] M. Barylski, “Studies on twin primes in goldbach partitions of even numbers.” http://tas-moto.org/research/TwinPrimesInGoldbachPartitions.pdf, 2018.

Notas