Introducción

La idea de relacionar la cardinalidad de los números primos de Germain con la de los números primos gemelos no es nueva [1]. En este trabajo se definen los números primos gemelos de Germain y se muestra que después del primer par de primos gemelos (3,5), nunca son ambos primos de Germain.

Las próximas secciones de este trabajo están organizadas de la siguiente manera, se calculan los números primos de Germain, para p pequeña, es decir, p < 10⁹, de modo que van apareciendo otros conceptos como las cadenas de Cunningham. Posteriormente, se revisan brevemente los números primos gemelos, para definir el número primo gemelo de Germain. Con el cálculo de la cardinalidad de estos números primos, se revisa qué proporción existe entre las diferentes cardinalidades.

Los números primos de Germain

Probablemente, entre la primera y la segunda década de los años 1800, Sophie Germain, una matemática autodidacta, se enfocó en el estudio de algunos números primos, que ahora llevan su nombre, bajo la siguiente definición [2]:

Definición 1 Número primo de Germain

Un número primo p es un número primo de Sophie Germain, si 2p + 1 también es primo.

Siguiendo una forma generalizada, al número p que tiene esta propiedad se le llama número primo de Germain, el cual será designado como p_G, y al resultado 2p+1 se le llamará número primo seguro de Germain (aquí designado como p_sG). Esta nomenclatura será útil dado que se repite frecuentemente el nombre “número primo de Germain”, así que usará la forma abreviada p_G cuando parezca ser más conveniente.

Tenemos que si p = 2 se obtiene 2p + 1 = 5, el cual es número primo; entonces el primer número primo de Germain es p_G = 2 y el primer primo seguro de Germain es p_sG = 5. Con p = 3, se obtiene 2p+1 = 7, que también es primo, así que el segundo número primo de Germain es p_G = 3, y el segundo número primo seguro de Germain será p_sG = 7. Con p = 5 también se cumple la condición que el resultado es primo, es decir 11. Sin embargo con p = 7 se obtiene 2p + 1 = 15 el cual no es primo, por lo tanto 7 no es p_G. El siguiente aspecto interesante es saber cuántos de los números primos p son números p_G y cómo van apareciendo cuando p aumenta. A menos que estemos interesados en números gigantes, de millones de dígitos, la pregunta sería cuáles de esos números son p_G, pero eso se deja fuera del alcance de este trabajo, es decir, interesa más saber cuántos son y no cuáles son.

Objetivos

En este trabajo se abordan diferentes aspectos relacionados con los números primos de Germain, p_G. Se inicia mostrando la proporción de la cardinalidad de números p_G con respecto a la cardinalidad de números primos, para una p ⩽ n dada, es decir, con respecto a la función contadora de números primos π(n), cuya definición se recuerda más adelante. El objetivo principal es presentar la interrelación de varios temas, es decir, la función π(n), los números primos de Germain, las cadenas de Cunningham y los números primos gemelos.

Un segundo objetivo es destacar otros números también relacionados con los p_G, es decir, los primos gemelos y se concluye con una razón que relaciona la cardinalidad de varios de ellos. Cabe aclarar que no se pretende demostrar la conjetura sobre la infinitud de los primos de Germain, si no de presentar, en una contribución modesta, la relación que guarda esta conjetura con las otras que existen sobre los números primos. Se deja al lector abierta la posibilidad de probar o rechazar tales conjeturas.

Sobre los primeros números p_G

Se pueden calcular varios números primos de Germain, probando uno a uno los números primos p, como se muestra en la Tabla 1. De los doce primeros números primos, encontramos que sólo seis de ellos son primos de Germain. Esto da una primera idea en qué proporción aparecen los primos de Germain respecto a la cantidad de números primos p. Esta diferencia resulta interesante, dada la conjetura sobre la infinitud de los números primos y por el hecho de que estos se van haciendo cada vez menos frecuentes cuando n se hace muy grande. Se puede ver que los primos de Germain deben ser todavía menos frecuentes que los números primos.

La cantidad de números primos p menores o iguales a n está dada por π(n), cuya notación se atribuye a Edmund Landau en 1907 [3], según la siguiente definición:

Definición 2 Función contadora de números primos

La función contadora de números primos es la función π(n) definida como π(n) := |p ∈ N tal que p es un número primo y p ⩽ n|, donde | | denota su cardinalidad.

De acuerdo al teorema de los números primos [4], π(n) se puede aproximar como

Esta aproximación a π(n) será la base para una expresión similar para la función contadora de primos de Germain, que será denotada por π_G(n).

Extrayendo los números de la Tabla 1 y continuando hasta los primeros p_G menores a 100 tenemos que los primeros p_G son: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, y sus p_sG resultantes son: 5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179. En total para p ⩽ 100 se obtienen 10 números p_G. Con n = 100, π(100) = 25. De aquí se obtiene que la razón de la cantidad de números p_G, es decir, π_G(n), a la cantidad de númerosprimos para n = 100 es:

donde π_G(n) indica la cardinalidad de p_G para p ⩽ n. Se tiene que menos del 50% de los números primos p, son p_G.

Razón entre la cardinalidad de números primos π(n) y la cardinalidad de primosde Germain π_G(n)

Se puede ver que la cantidad de primos de Germain es notablemente menor a la cantidad de números primos, pero además, la relación entre ellos disminuye en tanto n se hace más grande, de modo que, según se observa, habrá un comportamiento asintótico hacia cero. En la Figura 1 se muestra ese comportamiento asintótico de la razón π_G(n)/π(n), para n = 10, 10², . . . , 10⁹. La razón disminuye, esdecir, hay cada vez menos números p_G en proporción a π(n).

Aunque la cantidad de números primos de Germain disminuye de manera importante al aumentar n, se tiene la conjetura de que existen infinitos números p_G, la cuál aún no se ha demostrado. Investigar formas de demostrar esta conjetura seguirá siendo de mucho interés y se deben tomar diferentes enfoques.

En la Tabla 2 se muestran los valores de cardinalidad π(n) y π_G(n) para diferentes valores de n y en la cuarta columna la razón π_G(n)/π(n).

p_G y p_sG en un mismo p

Se plantea la siguiente cuestión: ¿un número primo de Germain puede ser, a su vez, un número primo seguro de Germain? Por ejemplo, p = 5 es un número primo de Germain p_G, ya que 2 × 5 + 1 = 11, el cual es también primo y por lo tanto el 11 será número p_sG, pero a su vez, p = 5 se puede obtener de p = 2, como 2 × 2 + 1 = 5, entonces p = 5 es número p_sG de p = 2. Pero se puede continuar y de la misma manera el p_sG = 11, es a su vez un p_G ya que 11 × 2 + 1 = 23, el cual es número primo, así que el 11 es tanto p_sG como p_G.

Para saber si p es un número p_sG, procedemos en sentido contrario, (p_sG − 1)/2, el cual debe ser número primo; así que (5 − 1)/2 = 2, donde 2 es número primo. Tenemos pues la posibilidad de obtener números primos de Germain en sentido hacia atrás y en sentido hacia adelante.

Ahora bien, no todos los números p_G se obtienen de otro número p_G. Designemos como P_Gb al número p_G que se obtiene hacia atrás y p_Gf al número p_G que se obtiene hacia adelante. Partiendo de un número primo p, en la Tabla 3 se muestran algunos casos.

Hay algunos casos en que un p_G no se obtiene, a su vez, de otro p_G, como con 2, 3, 29, 41, 53 y 89. La Tabla 3 podrá extenderse tanto como se desee, con el fin de encontrar algún patrón y podría dar pie a un trabajo futuro.

A partir de los datos de la Tabla 3, cabe preguntarse si dado un primer número primo p, este se puede convertir en p_G de manera sucesiva, y hasta cuántas veces se mantiene la propiedad de ser número primo de Germain. Por ejemplo, con p = 2 (p_G en realidad) se obtiene p_sG = 5, de este se obtiene p_sG = 11, de este último se obtiene ahora p_sG = 23, y así se puede continuar hasta que no se obtenga un número primo. Como la propiedad de ser primo de Germain se comparte con el siguiente número primo de Germain, a estos números se les llama, en este trabajo, generaciones.

Sea p un número primo inicial, que corresponde a la generación 0, entonces se observa, el siguiente desarrollo:

Llamamos k-generación a cada nuevo primo seguro de Germain hasta que se obtenga un número que no es primo. Esto se conoce como la cadena de Cunningham [5], de la cual se conjetura que hay infinitas secuencias y que estas pueden ser muy largas. A estas cadenas también se les conoce como secuencias de primos casi dobles [6], y citando al mismo autor [6], “no se sabe si existen cadenas arbitrariamente largas.” En otros casos se buscan cadenas que, aunque no sean tan largas, contengan números primos gigantes, es decir con un gran número de dígitos. Las cadenas de primera clase más largas conocidas a la fecha son apenas de k = 17 (generación 16 en nuestro caso) [7].

Definición 3 Cadena de Cunningham de primera clase

Es una secuencia

en la cual todos los términos, excepto el último, son primos de Germain.

Más aún, en esa secuencia, los términos de p₂ a p_n−1 son todos, a su vez, p_sG y p_G.

Una cadena de Cunningham (de primera clase) también se puede expresar de la siguiente manera, dado un primer número primo p₁ se tiene la secuencia:

En la Figura 2 se muestran los números primos para p ⩽ n, con n = 100 y en cada caso, el número de generaciones que contiene cada número p. Cabe hacer notar que, a diferencia de las cadenas de Cunningham, donde k = 1 es el número p inicial [6], en este trabajo, cuando aparece k = 0 (indica generación 0), corresponde al p inicial y si en la gráfica aparece k = 0, se tiene que ese número primo no es p_G. Si k ≠ 0, el número es p_G y el valor de k corresponde a la longitud-1 de la cadena de Cunningham. Esto es útil para relacionar los números que no generan cadenas de Cunningham con los números primos que no son primos de Germain.

Para el primer número primo, el 2, se tiene la cadena: {2, 5, 11, 23, 47}, es decir, sólo cuatro generaciones (k = 4) antes de que se corte la cadena, ya que el último número, 47, aunque sea primo, ya no es número primo de Germain y no puede generar otro número primo seguro de Germain. El siguiente número primo, el 3, sólo produce una generación, el 7, el cual, aunque sea número primo, no es primo de Germain. El 5 produce 3 generaciones. Al continuar con el 7, ahí no se produce ninguna generación, por lo que se muestra su valor en cero (el 7 no es un p_G y corresponde al primer punto de la gráfica en cero). Para estos números primos menores a 100, se encuentra que la cadena más larga es de cinco generaciones.

La gráfica permite obtener los siguientes datos, el número de generaciones (k) posibles para cada número primo p, cuántos son primos de Germain p_G, y cuántos no son primos p_G. La gráfica no muestra los números que forman cada cadena, eso se muestra más adelante en formade tabla. Además se muestra, al pie de la figura, π(n), es decir, la cardinalidad de números primos para p ⩽ n, la cardinalidad de los números que no son p_G como² π_!G(n), y la cardinalidad de los que sí son como π_G(n). De aquí podemos calcular

una de las cuales ya se había encontrado.

Revisando los cálculos, en la Tabla 4 se muestra la longitud de las cadenas para cada número primo p ⩽ 100. La tabla resalta los valores k = 0, lo que signfica que ahí p ≠ p_G. La Tabla 5 muestra los términos que componen cada cadena o secuencia de Cunningham.

La Figura 3 muestra dos casos más. La Figura 3a presenta el caso k vs p ⩽ 10⁴, mientras que la Figura 3b corresponde al caso k vs p ⩽ 10⁶. Para números más grandes se vuelve poco práctico mostrar estos resultados de forma gráfica.

Para p ⩽ 10⁴ se tienen solamente 190 números p_G, contra un total de 1229 números primos. Eso da una proporción π_G(10⁴)/π(10⁴) = 190/1229 = 0.1545. Para el caso n = 10⁶, la proporción es π_G(10⁶)/π(10⁶) = 7746/78498 = 0.0986. Puede observarse que la densidad de números p_G disminuye a medida que n aumenta.

Las cadenas de Cunningham tienen una longitud variable, y al igual que la aparación de los números primos, los primos de Germain y los primos de Mersenne (los cuales se suponían fáciles de encontrar), su longitud sólo se descubre hasta que se realizan los cálculos. Algunos ejemplos con números pequeños se muestran en las Tablas 6, 7 y 8, en cada caso se indica el valor de p inicial, tomado de [8]. Si las cadenas de Cunningham aparecen infinitas veces, como dice la conjetura, entonces podría decirse que por consecuencia, los primos de Germain también son infinitos.

Primos gemelos de Germain

Otra observación posible en la Tabla 4, es la aparición de primos gemelos. El primero en llamar gemelos a estos pares de números primos fue Pauel Stäckel (1916) en «Die Darstellung der geraden Zahlenals Summen von zwei Primzahlen», La representación de los números pares como sumas de dos números primos, en Informes de reuniones de la Academia de Ciencias de Heidelberg, clase de matemáticas y ciencias [9]. Los primos gemelos son aquellos números primos cuya diferencia numérica entre ellos es igual a 2, es decir, si p_T1 es un número primo, y p_T2 = p_T1+2 también es primo, se les llama primos gemelos y forman un par (p_T1, p_T2). Se emplea el subíndice T, de la palabra inglesa twin. Las parejas de primos gemelos que se observan en la Tabla 4 son (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (41,43), y (71,73).

Establezcamos la siguiente definición:

Definición 4 Primo gemelo de Germain

Si un número primo gemelo p_T es tal que 2p_T +1 también es primo, se le llamará primo gemelo de Germain, p_TG.

Además se tiene la siguiente conjetura, atribuida a Euclides:

Conjetura 1 Infinitos primos gemelos

Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo.

Como se demuestra en la siguiente sección, la única pareja de primos gemelos en la que ambos son p_G es (3, 5). Sustituyendo ese par en 2p+1 tenemos: 2×3+1 = 7, sí es primo; 5×2+1 = 11, sí es primo. Pero con (5,7), tenemos 7 × 2 + 1 = 15 que no es primo. Al observar el comportamiento de los primos gemelos, vemos que, después del par (3, 5), los pares de primos gemelos siempre tienen al menos uno de ellos que no es primo de Germain, es decir, el resultado de 2p_T + 1 con ese primo gemelo no es primo. Se puede demostrar que, de ahí en adelante, en ninguna pareja de primos gemelos, ambos son p_G. Consecuentemente, como se remarca en este trabajo, la cardinalidad de los primos de Germain es aproximadamente 1/2 de la cardinalidad de los primos gemelos, y aproximadamente igual al número de parejas de primos gemelos.

Además, cuando uno de los primos gemelos es primo de Germain, es el menor del par (p_T1, p_T2), mientras que el mayor nunca es primo de Germain. Por ejemplo, con el par (5, 7), el 5 sí es número p_G, pero el 7 no lo es. Con (11, 13), nuevamente, 11 sí es p_G pero el 13 no. Ahora con (17, 19), en este caso, ninguno de los dos primos gemelos es primo de Germain. Esto nos sugiere que del número de primos gemelos, menos de la mitad de ellos son primos gemelos de Germain, lo cual se confirma en la siguiente sección.

La forma 6m± 1 de los números primos

Se comienza con el siguiente lema:

Lema 1 Todo número primo p > 3 se puede escribir como p = 6m ± 1, donde m es un entero positivo.

Demostración. Todo entero positivo n ⩾ 6 se puede expresar como 6m+k, donde k = 0, 1,...5, y m ⩾ 1. Los números 6m, 6m + 2, 6m + 3 y 6m + 4 son compuestos ya que son divisibles entre 2, entre 3 o ambos, es decir, 6m = 2 × 3m, 6m+ 2 = 2(3m+ 1), 6m+ 3 = 3(2m+ 1), 6m+ 4 = 2(3m+ 2). Mientras que 6m + 1 y 6m + 5 son, ya sea primos (por ejemplo 6 × 1 + 1 = 7, 6 × 2 − 1 = 11) o compuestos (por ejemplo 6m + 5 es divisible por 5 si m es múltiplo de 5, 6m + 1 es divisible por 3 si la suma de dígitos decimales es divisible por 3). Por otro lado, 6m+ 5 se puede escribir como 6(m+ 1) − 1. Todos los primos menores que 5, es decir el 2 y 3, no se pueden expresar como p = 6m ± 1 donde m es un entero positivo. Esto significa que todo número primo p ⩾ 5 puede ser expresado como p = 6m ± 1, donde m ∈ $\textcolor{red}{}\mathbb{N}$ [10].■

Observación 1

Si hacemos m = 4, 6m + 1 = 25, el cual no es número primo. Entonces, debe entenderse que 6m±1 no es una fórmula para generar números primos, es la forma en que un número primo se puede expresar, y siempre funciona para algunos valores de m. Por ejemplo, el número primo p = 5 se puede expresar como 6m − 1, con m = 1, mientras que p = 7 se puede expresar como 6m+ 1 con m = 1.

Además de lo anterior, como consecuencia del Lema 1, tenemos el siguiente corolario:

Corolario 1 Todo par de primos gemelos diferente del par (3,5) se puede expresar como

donde p_T1 = 6m − 1 es el primo gemelo menor y p_T2 = 6m + 1 es el primo gemelo mayor de ese par.

Ahora, conjeturamos que en un par de primos gemelos no todos son primos de Germain mediante la siguiente proposición:

Proposición 1

En un par de primos gemelos diferente al par (3,5), el primo gemelo mayor p_T2 = 6m + 1 no puede ser primo de Germain.

Demostración. Se puede verificar, en pares gemelos diferentes a (3,5), que p_T2 = 6m+ 1 no puede ser primo de Germain, ya que 2p_T2 + 1 = 2(6m + 1) + 1 = 12m + 3 = 3(4m + 1), el cual será un número compuesto divisible entre 3.

Esto explica lo que se encuentra en la Figura 4, donde se muestran sólo los pares de primos gemelos para p ⩽ n con n = 100, que son primos de Germain. En la ordenada se representa el valor de cada número p_T y en la abcisa se muestra ese valor como la separación entre primos gemelos de Germain. De los 8 pares de primos gemelos, sólo 5 de ellos contienen al menos uno que es número p_G. La cantidad total de números primos gemelos es 16, designando su cardinalidad como π_T (n), mientras que la cantidad de primos gemelos de Germain es π_TG(100) = 5.

Para p ⩽ 104, en la Figura 5, se muestran los pares de primos gemelos; de los 205 pares, 204 tienen al menos un p_T ≠ p_G. En total, sólo se tienen 54 números primos gemelos de Germain, es decir π_TG(10⁴) = 54.

Se puede agregar la siguiente conjetura:

Conjetura 2

Cuando el primo gemelo menor, p_T1, termina en 7, este no será p_G.

Esta Conjetura se deja abierta a ser comprobada por el lector. En su lugar, numéricamente se muestran algunos ejemplos: el 17, 107, 137, etc., no son primos de Germain porque al hacer 2p_T +1 se obtiene un número compuesto divisible entre 5, es decir, 17 ×2+1 = 35, y 35/5=7; 107 ×2+1 = 215, y 215/5=43; 137 × 2 + 1 = 275, y 275/5=55. Estas pruebas heurísticas apoyan la conjetura de que hay más primos gemelos que primos gemelos de Germain.

Para valores de p más grandes, ya es difícil observar de manera gráfica la presencia de cada par de primos gemelos, como sí se observó en la Figura 4. Note que en la Figura 5, debido a la escala, se empalma el trazo, en color rojo, de los primos gemelos mayores sobre el trazo de los menores, en color azul.

La proporción de números primos gemelos de Germain (p_TG) contra π(n), para diferentes valores de n se muestran en la Tabla 9. La primera columna muestra el valor de n, del cual se calcula π(n), la cardinalidad de los números primos p ⩽ n, en la segunda. En la tercera columna se incluye la cardinalidad de los primos gemelos π_T (n). La cuarta columna muestra la cardinalidad de primos gemelos que son además primos de Germain π_TG(n). Las columnas quinta y sexta muestran la razón, primero entre la cardinalidad de primos gemelos contra π(n), y los primos gemelos que son primos de Germain respecto a π(n). En la séptima columna, se exhibe la razón entre el número de primos gemelos que son primos de Germain al número de primos gemelos que no son primos de Germain.

Se encontró que la cantidad de primos gemelos de Germain, es siempre menor al 50% del total de números primos gemelos para una p ⩽ n, por las razones dadas para la (4).

Regresando a los primos de Germain, no necesariamente primos gemelos, de acuerdo a [1]: “hay una buena razón para creer que hay cerca del mismo número de primos de Germain que de primos gemelos”, es decir, π_G(n)/π_T (n) ≈ 1.

Sin embargo, como se muestra en la Tabla 10, la razón entre π_G(n) y el total de primos gemelos π_T (n) para una p ⩽ n dada, es más bien

En todo caso, si se toman en cuenta el número de pares de primos gemelos, entonces sí se tiene que el número de primos de Germain es aproximadamente igual al número de pares de primos gemelos, es decir, π_G(n)/π(pares_pT) ≈ 1.

Finalmente, se puede decir que la infinitud de los números primos, o de los números primos gemelos están relacionados con la infinitud de los números primos de Germain, aunque estos últimos sean menores en proporción a los otros, es decir, se conjetura que π(n) > π_T (n) > π_G(n).

Un ajuste a la estimación de π_G(n)

En el libro de Victor Shoup, (2009) [2], página 123, se menciona:

Es un problema abierto comprobar (o lo contrario) que hay infinitos primos de Sophie Germain. Sin embargo, la evidencia numérica y argumentos heurísticos, sugieren fuertemente no sólo que hay infinitos de tales primos, si no también una estimación muy precisa sobre la densidad de tales primos.

Sea π^∗(x) el número de primos de Sophie Germain³ hasta x

Conjetura 5.24 Tenemos

${\pi }^{*}(x)\approx C\frac{x}{ln(x{)}^2}$

donde C es la constante

$C:=2{\prod _{p>2}}_{\textcolor{red}{}}\frac{p(p-2)}{(p-1{)}^2}\approx 1.32032.$

y el producto es sobre todos los primos p > 2.

En la página 124, agrega que

la conjetura anterior también incluye (una versión fuerte de) la famosa conjetura de los primos gemelos como un caso especial: el número de primos p hasta x tal que p+2 también es primo es ≈ C_x/ln(x)², donde C es la misma constante que la Conjetura 5.24.

Como lo dice [2], la conjetura 5.24 es la misma conjetura y la misma constante que la estimación de los primos gemelos. Parece que hay una confusión en el uso de π^∗(x) al suponer que es una estimación de la cardinalidad de los primos de Germain, ya que de acuerdo a [11], la forma de esta estimación fue dada por Hardy y Littlewood para estimar los números primos gemelos, pero conviene hacer la siguiente observación, la estimación de Hardy-Littlewood es sobre el número de parejas de gemelos [12], no el número de primos gemelos, el cual sería el doble. Es más, la constante C = 1.32032, corresponde, en realidad, al doble de la llamada constante prima gemela C₂ = 0.66016181584 . . . .

Como el número de primos de Germain es casi el mismo que el número de pares de gemelos, se tomará ${\hat{\pi }}_G\left(n\right)={\pi }^{*}$ como una estimación de los primos de Germain de Hardy-Littlewood. En la Tabla 11 se muestran los resultados de esta estimación de π_G(n) para algunos valores de n. Para n = 10⁴,la estimación predice un total de 155.64 primos de Germain (156 al redondear), en lugar del valor exacto de 190; para n = 10⁷, la estimación entrega 50822 primos de Germain, mientras que el valor exacto, dado en la columna 2, es de 56032 (un error cercano al 10 %). Para n = 10⁹ el error se reduce a un 7 %, es decir, se predice un total de 3074417.23 en lugar del valor exacto de 3308859.

Se propone una pequeña modificación que reduce el error relativo porcentual. El objetivo es encontrar si ese valor de C = 1.32032 es el único valor posible, o si hay otro valor que ofrezca una mejor aproximación al valor verdadero de π_G(n).

Utilizando el algoritmo LMS (least mean square) para la búsqueda del valor óptimo de C, se logró reducir el error a un valor mínimo. LMS es un bello algoritmo de búsqueda de descenso por el gradiente ,que a pesar de su sencillez, resulta muy efectivo. El pseudocódigo mostrado en el Algoritmo 1 requiere de los valores conocidos de n y π_G(n), se da un valor inicial para C, y un valor de ajuste μ:

El resultado del algoritmo LMS fue C = 1.38004526392089 y el error se redujo sobre todo en los valores finales de n. En la ejecución del algoritmo se empleó la lista de primos de Germain de [13]. En la Figura 6 se muestra la variación del% de error y en la Tabla 12 los valores numéricos, donde %error H_L denota el error de la aproximación por Hardy-Littlewood, y %error C_opt el% de error con la constante encontrada por el algoritmo LMS.

Con base en este resultado, se conjetura que el valor de C puede ser entre 1.32032 < C < 1.4.

Conclusión

En este trabajo se abordaron diferentes aspectos relacionados con los números primos de Germain. Se encontró la proporción entre la cardinalidad de números primos de Germain p_G a la cardinalidad de números primos para una p ⩽ n dada, es decir, con respecto a π(n).

Se presentó la interrelación de varios temas, es decir, la función π(n), los números primos de Germain, las cadenas de Cunningham y los números primos gemelos. Se destacan las relaciones entre las diferentes cardinalidades, π(n), π_T (n), y π_G(n). Se evidenció mediante cálculos numéricos, que la cantidad de números primos de Germain es aproximadamente la mitad de la cantidad de los números primos gemelos, en contraste con [1].

Un resultado interesante es una mejora a la estimación de la cardinalidad de los números primos de Germain. Para esto se obtuvo un valor óptimo del valor de C, es decir, del valor propuesto por Hardy-Littlewood de 1.32032, se propone C = 1.380045. Nuestra fundamentación se basa en la reducción del error en la estimación de π_G(n), según se muestra en la Figura 6.

Bibliography

1 H. Riesel, Prime number and Computer Methods for factorization, 2nd ed.Birkhäuser Basel, 2012.

2 V. Shoup, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra.Cambridge University Press, 2009.

3 E. Landau, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen.Ann Arbor, Michigan: University of Michigan Library, 2005.

4 T. M. Apostol, Introducción a la teorıa analıtica de números primos, 1984.

5 A. Cunnningham, “On hyper-even numbers and on fermat's numbers,” Proc. Lond. Math. Soc., vol. 2, no. 5, pp. 237–274, 1907.

6 L. Günter, “Long chains of nearly boubled primes,” Mathematics of Computation, vol. 53, no. 1889, pp. 751–759, 1989.

7 A. Dirk, “Cunningham chain records,” http://primerecords.dk/Cunningham_Chain_records.htm.

8 “A005602 smallest prime beginning a complete cunningham chain of length n (of the first kind),” https://oies.org/A005602.

9 P. Stäkel, “Die darstellung der geraden zahlen als summen von zwei primzahlen,” vol. 7A, no. 10, pp. 1–47.

10 M. Barylski, “Studies on twin primes in goldbach partitions of even numbers,” http://tas-moto.org/research/TwinPrimesInGoldbachPartitions.pdf, 2018.

11 P. Ribenboim, Fermat's Last Theorem for Amateurs.Springer, 1999.

12 G. Hardy and J. Littlewood, “On some problems of 'partitio numerarum': III: On the expression of a number as a sum of primes,” Acta Mathematica, vol. 44, no. 1, pp. 1–70, 1923.

13 “A092816,” https://oies.org/A092816/b092816.txt.